Das Rechnen mit Größen und Einheiten

Veröffentlicht am 26.10.2019

Größen und Einheiten kommen in allen Schulfächern vor, in denen „gerechnet“ wird. Besonders in den naturwissenschaftlichen Fächern Physik und Chemie kann das Wissen, wie man mit Größen und Einheiten richtig rechnet beziehungsweise „umgeht“, ausschlaggebend sein, um komplexe Sachverhalte einfacher verstehen zu können. Das Rechnen mit Größen und Einheiten gehört damit zum Basiswissen vieler Schulfächer.

Die Anwendungssicherheit beim Umrechnen von Größen und Einheiten (hier kommt dann der Link zum Blogbeitrag rein) bildet hierbei die Grundlage, um Aufgaben mit Größen richtig ausrechnen zu können.

Beim Rechnen mit Größen und Einheiten werden im Allgemeinen folgende Rechenarten unterschieden:

1. Addition und Subtraktion von Maßzahlen
2. Multiplikation und Division von Zahlen und Maßzahlen
3. Multiplikation und Division von Größen gleicher Art
4. Vergleichen von Größen
5. Herleitung von Formeln (besondere Form des Rechnens mit Größen)

Addition und Subtraktion von Maßzahlen

Es dürfen nur gleiche Größen mit derselben Maßeinheit addiert oder subtrahiert werden. Daher kann es notwendig sein, vorher die Größen auf dieselbe Maßeinheit zu vergröbern oder zu verfeinern. 

Addition von Maßzahlen

 Bei der Addition werden die Maßzahlen addiert. Die Maßeinheiten bleiben unverändert.

1. Umwandeln der Größen in die gleiche Maßeinheit
2. Addieren der Maßzahlen
3. „Setzen“ der Maßeinheit hinter das Ergebnis

Beispiel:

12 t + 550 kg = 12 t + 0,55 t = 12,55 t

Subtraktion von Maßzahlen

Bei der Subtraktion werden die Maßzahlen von einander subtrahiert.
Die Maßeinheiten bleiben unverändert.

1. Umwandeln der Größen in die gleiche Maßeinheit
2. Subtrahieren der Maßzahlen
3. „Setzen“ der Maßeinheit hinter das Ergebnis

Beispiel:

12,55 t – 550 kg = 12,55 t – 0,55 t = 12 t

Multiplikation und Division von Zahlen und Maßzahlen

Multiplikation von Zahlen und Maßzahlen

Bei der Multiplikation von Zahlen und Maßzahlen werden nur die „Zahlen“ multipliziert.
Die Maßeinheit bleibt unverändert.

1. Multiplizieren der Zahl mit der Maßzahl
2. „Setzen“ der Maßeinheit hinter das Ergebnis

Beispiel:

4 Ÿ 7,5 m² = 30 m²

Division von Maßzahlen durch Zahlen

Bei der Division von Maßzahlen durch Zahlen wird die Maßzahl durch die Zahl geteilt.
Die Maßeinheit bleibt unverändert.

1. Dividieren der Maßzahl durch die Zahl
2. „Setzen“ der Maßeinheit hinter das Ergebnis

Beispiel:

30 m² ÷ 4 = 7,5 m²

Multiplikation und Division gleicher Größen

Unter gleichen Größen versteht man, dass alle Maßeinheiten der gleichen Größe (zum Beispiel Entfernung oder Gewicht) zugordnet sind.

Beispiel:

Die Maßeinheiten km, m, mm gehören alle zur Größe „Entfernung“ und sind gleiche Größen.
Die Maßeinheiten km und km² gehören einmal zur Größe „Entfernung“ sowie einmal zur Größe „Fläche“ und sind daher ungleiche Größen.

Bei der Multiplikation und Division von gleichen Größen dürfen nur gleiche Maßeinheiten multipliziert oder dividiert werden. Daher kann es notwendig sein, vorher die Größen auf dieselbe Maßeinheit zu vergröbern oder zu verfeinern.

Bei der Multiplikation und Division gleicher Größen finden die Potenzgesetze Anwendung.

Multiplikation gleicher Größen

Bei der Multiplikation von gleichen Größen multipliziert man die Zahlen miteinander und die Maßeinheiten miteinander. Anschließend werden beide Produkte zusammengesetzt.

Das Produkt aus zwei Größen ist wieder eine (neue) Größe. (vergleiche Punkt 5. Herleitung von Formeln)

1. Umwandeln der Größen die gleiche Maßeinheit
2. Multiplizieren der Maßzahlen
3. Multiplizieren der Maßeinheiten
4. „Zusammenfügen“ beider Ergebnisse (multiplizieren)

Beispiel:
30 m •Ÿ 4.000 cm = 1.200 m²

30 m Ÿ• 4.000 cm = 30 m Ÿ 40 m

30 • Ÿ 40 = 1.200

m Ÿ• m = m²

1.200 m²         (1.200 •Ÿ m²)

Division gleicher Größen

Bei der Division von Größen gleicher Art dividiert man die Zahlen durch einander und die Maßeinheiten durch einander. Anschließend werden beide Quotienten als Produkt zusammengesetzt.

Der Quotient gleicher Größen ist immer eine Zahl.

1. Umwandeln der Größen in die gleiche Maßeinheit
2. Dividieren der Maßzahlen
3. Dividieren der Maßeinheiten
4. „Zusammenfügen“ beider Ergebnisse (multiplizieren)

Beispiel:

0,09 km ÷ 30 m = 3

0,09 km ÷ 30 m = 90 m ÷ 30 m

90 ÷ 30 = 3

m ÷ m = 1

30 Ÿ 1 = 3

Vergleichen gleicher Größen

Beim Vergleichen gleicher Größen dürfen nur gleiche Maßeinheiten miteinander ins Verhältnis gesetzt werden.  Daher kann es notwendig sein, vorher die Größen auf dieselbe Maßeinheit zu vergröbern oder zu verfeinern.

1. Umwandeln der Größen in die gleiche Maßeinheit
2. Vergleichen der Maßzahlen

Beispiel:

1.300 l > 9.000.000 cm³

1.300 l = 1.300 dm³ = 1.300.000 cm³

1.300.000 cm³ > 9.000.000 cm³

Herleitung von Formeln

Das Herleiten von Formeln ist eine Besonderheit des Rechnens mit Größen.

Eine Formel stellt einen Zusammenhang zwischen verschieden Größen her. Formeln werden in der Regel als Gleichung (selten als Ungleichung) dargestellt und sind gegenüber einer Textform (Beschreibung) kürzer und präziser. Formeln stehen für Definitionen, Vorschriften, Regeln und Gesetzmäßigkeiten.

Beispiel 1: Formeln aus gleichen Basisgrößen

Die Größe Volumen (auch dreidimensionaler Rauminhalt genannt) ergibt sich aus dem Produkt der drei Basisgrößen „Länge, Breite, Höhe“ und ist damit eine abgeleitete Größe mit einer neuen Maßeinheit (z.B. m³).

 V = a •Ÿ b •Ÿ h

Länge 1: a = 6 cm      (Länge)
Länge 2: b = 2 cm      (Breite, Tiefe)
Länge 3: h = 4 cm      (Höhe)

V = 6 cm Ÿ 2 cm Ÿ 4 cm = 48 cm³

Beispiel 2: Formeln aus unterschiedlichen Basisgrößen

Die Geschwindigkeit „V“ gibt an, wie schnell sich ein Körper bewegt, also welche Strecke „s“ dieser Körper in einer bestimmten Zeit „t“ zurücklegt und ergibt sich somit aus deren Verhältnis.

Formel:          V = s ÷ t

Die physikalische Größe Geschwindigkeit „V“ ergibt sich aus dem Quotienten der Basisgröße Länge „s“ und der Basisgröße Zeit „t“ und ist damit eine abgeleitete Größe mit einer neuen Maßeinheit (z.B. km/h).

t = 2 h
s = 180 km

V = 180 ÷ 2 Ÿ  km ÷ h = 90 km/h

Beispiel 3:
Formeln aus Basisgrößen und abgeleiteten Größen

Die physikalische Dichte „r“ gibt an, wie viel Masse „m“ in einem Volumen „V“ vorhanden ist.
Die Dichte „r“ gibt somit an, ob ein Körper im Verhältnis zu seiner Größe leicht oder schwer ist und wird durch das Verhältnis seines Volumens zu seiner Masse bestimmt.

Formel:          r = m ÷ V

Die physikalische Größe Dichte „r“  ergibt sich aus dem Quotienten der Basisgröße Masse „m“ und der abgeleiteten Größe Volumen „V“ und ist damit ebenfalls eine abgeleitete Größe mit einer neuen Maßeinheit (z.B. g/cm³).

 m = 5 g

V = 10 cm³ (a = 1 cm, b = 2 cm, c = 5 cm)

r = 5 ÷ 10 Ÿ g ÷ cm³ = 0,5 g/cm³

 

Schlussbemerkung und Hinweise:

Viele Schüler und Schülerinnen kennen die unterschiedlichen Größen schon aus dem alltäglichen Leben. Im Unterricht wird dieses Wissen lediglich auf eine „schulische Ebene“ gehoben als Ausgangspunkt für das Verstehen der Größen und Einheiten. Kinder und Jugendliche sollten daher immer wieder im „realen Leben“ mit Größen und Einheiten üben, egal ob bei der Einkaufliste, beim Renovieren oder Kochen und Backen. Dieses fördert gerade in jungen Jahren das Verständnis für dieses komplexe Thema.

Das Rechnen mit Größen und Einheiten bildet die Grundlage, gerade in den Fachbereichen Mathematik, Physik und Chemie, um Verständnis für die wissenschaftlichen Erklärungen unserer Umwelt zu entwickeln.

André Wiesener ist unser Konrektor für Nachhilfe in Koblenz.