Teilbarkeitsregeln verstehen und anwenden

Veröffentlicht am 31.01.2021

Oftmals bietet die Mathematik einfache Hilfsmittel, wie zum Beispiel die Teilbarkeitsregeln (auch Teilerregeln genannt), um schneller zur Lösung zu kommen, unnötiges Rechnen zu vermeiden oder einfach einen besseren Überblick über größere Zahlen oder komplexere Aufgabenstellungen zu erhalten.

Im nachfolgenden Beitrag sind vor allem diejenigen Teilbarkeitsregeln aufgeführt und an Beispielen einfach erklärt, welche aus Sicht von “die hauslehrer^®“ für den Mathematikunterricht und für Unterrichtsfächer mit mathematischen Anteilen wichtig und einfach zu handhaben sind. Die Übersicht der Teilbarkeitsregeln ist daher nicht vollumfänglich. 

Hinweis: Die wichtigsten Teilbarkeitsregeln am Ende dieses Beitrages zum Herunterladen und Ausdrucken.

 Was sind Teilbarkeitsregeln

Teilbarkeit ist eine mathematische Beziehung zwischen zwei ganzen Zahlen, bei der eine ganze Zahl durch eine andere ganze Zahl ohne Rest teilbar ist. Um die Frage nach der Teilbarkeit beantworten zu können, ist nicht immer zwingend eine schriftliche Division notwendig, wenn man die Teilbarkeitsregeln richtig anwendet.

Die Anwendung der Teilbarkeitsregeln beantwortet die Frage, ob eine ganze Zahl durch eine andere ganze Zahl teilbar ist oder nicht. Die Aussage lautet dabei immer: „Teilbar.“ oder „Nicht teilbar.“, ohne jedoch ein konkretes Zahlenergebnis zu nennen

Anwendung der Teilbarkeitsregeln

Viele Schülerinnen und Schüler scheuen sich davor, die Teilbarkeitsregeln zu lernen und zu üben. Aber auch so manche Schullehrkraft legt nicht mehr so viel Wert darauf, sich mit diesem Thema eingehend im Unterricht zu beschäftigen.

Dabei liegen die Vorteile auf der Hand. Teilbarkeitsregeln sind eine Art Prüfschema, welches dabei helfen kann, unnötige Rechenschritte zu vermeiden. Unter anderem sind in der Bruchrechnung (Kürzen, Erweitern, gemeinsamer Nenner, Ausklammern, etc.), beim Kopfrechnen und in der Dreisatz-Rechnung oder Prozentrechnung Kenntnisse über die Teilbarkeitsregeln sehr hilfreich.

Das Beherrschen der wichtigsten Teilbarkeitsregeln sollte daher zum mathematischen Handwerkszeug in weiterführenden Schulen gehören.

Welche Zahlen sind nicht teilbar?

Alle ganzen Zahlen sind zumindest durch sich selbst und die Zahl „1“ teilbar.
Natürliche Zahlen ≠ 1, welche nur durch sich selbst und die Zahl „1“ teilbar sind, nennt man Primzahlen. Diese besitzen folglich auch keine speziellen Teilbarkeitsregeln.

Die Primzahlen bis 100 sind:

Zahlenraum 1 bis 50:         2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47

Zahlenraum 50 bis 100:     53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97

Andere Zahlen haben wiederum viele verschiedene Teiler; wie zum Beispiel die Zahl 72 mit ihren Teilern {1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 36; 72}. Solche Zahlen nennt man hochzusammengesetzte Zahlen.

Ordnung der angesprochenen Teilbarkeitsregeln

 

Wichtige Teilbarkeitsregeln

Summenregel (Differenzregel)

 Wenn eine Zahl c zwei andere Zahlen a und b teilt, dann teilt sie auch die Summe (a + b) oder die Differenz (a – b) beider Zahlen.

• (a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c
• (a – b) ÷ c = a ÷ c – b ÷ c

Beispiel:

Die Zahl 9 ist Teiler der Zahl 360 (360 ÷ 9 = 40) und auch der Zahl 45 (45 ÷ 9 = 5).
Die Summe der Zahlen 360 und 45 beträgt 405 (360 + 45 = 405).
Demnach ist die Zahl 9 auch Teiler von 405 (405 ÷ 9 = 45).

Die Zahl 3 ist Teiler der Zahl 150 (150 ÷ 3 = 50) und auch der Zahl 12 (12 ÷ 3 = 4).
Die Differenz der Zahlen 150 und 12 beträgt 138 (150 – 12 = 138).
Demnach ist die Zahl 3 auch Teiler von 138 (138 ÷ 3 = 46).

Diese Regel hilft nicht nur die Teilbarkeit von Zahlen zu untersuchen, sondern auch größere Zahlen zu dividieren. Die Summenregel (Differenzregel) gibt neben der Antwort: „Teilbar.“ oder „Nicht teilbar.“ auch konkrete Teilergebnisse wieder, welche dann abschließend zu einem Endergebnis addiert (subtrahiert) werden können.

Beispiel 1: Ist die Zahl 5224 durch die Zahl 4 teilbar?
5.224 ÷ 4 = 1.306
5200 ÷ 4 = 1300
24 ÷ 4 = 6
1.300 + 6 = 1306

Beispiel 2: Ist die Zahl 2025 durch die Zahl 3 teilbar?

2.025 ÷ 3 = 675
2.100 ÷ 3 = 700
75 ÷ 3 = 25
700 – 25 = 675

Teilbarkeitsregel

Wenn eine Zahl a Teiler einer Zahl n ist, dann ist jeder Teiler b der Zahl a auch ein Teiler der Zahl n.

• Wenn a | n und b | a, dann gilt auch b | n.

Beispiel:

Die Zahl 168 ist durch Zahl 24 teilbar. Infolge sind auch alle Teiler der Zahl 24 {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12} gleichermaßen Teiler der Zahl 168.

Quersummenregel

Die Quersumme Q einer Zahl n ist die Summe aus den einzelnen Ziffern der Zahl.

Beispiel:

n = 327
Q(327) = 3 + 2 + 7 = 12

Quersummenregel Zahl 3

Eine Zahl n ist durch die Zahl 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch die Zahl 3 teilbar ist.

• Wenn 3 | Q(n), dann gilt auch 3 | n.

Beispiel: Ist die Zahl 31.245 durch die Zahl 3 teilbar?

Q(31245) = 3 + 1 + 2  + 4 + 5 = 15

Da Quersumme 15 durch die Zahl 3 teilbar ist, ist auch die Zahl 31.245 durch die Zahl 3 teilbar (31.245 ÷ 3 = 10.415).

Quersummenregel Zahl 6

Eine Zahl n ist durch die Zahl 6 teilbar, wenn ihre Quersumme durch die Zahl 3 teilbar und die Zahl gerade ist.

• Wenn 3 | Q(n) und 2 | n , dann gilt auch 6 | n.

Beispiel: Ist die Zahl 5.478 durch die Zahl 3 teilbar?

Q(5478) = 5 + 4 + 7 + 8 = 24

Da Quersumme 24 durch die Zahl 3 teilbar ist und es sich um eine gerade Zahl handelt, ist auch die Zahl 5.478 durch die Zahl 6 teilbar (5.478 ÷ 6 = 913).

Quersummenregel Zahl 9

Eine Zahl n ist durch die Zahl 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch die Zahl 9 teilbar ist.

• Wenn 9 | Q(n), dann gilt auch 9 | n.

Beispiel: Ist die Zahl 21.915 durch die Zahl 9 teilbar?

Q(21915) = 2 + 1 + 9  + 1 + 5 = 18

Da Quersumme 18 durch die Zahl 9 teilbar ist, ist auch die Zahl 21.915 durch die Zahl 9 teilbar (21.915 ÷ 9 = 2.435).

Endstellenregeln

Eine der einfacheren Teilbarkeitsregeln ist die Endstellenregel. Diese dient vorrangig zum schnellen Testen auf Teilbarkeiten.

• Eine Zahl ist durch die Zahl 2 teilbar, wenn sie gerade, also ihre letzte Ziffer eine 2; 4; 6; 8 oder 0 ist.

Beispiel: Ist die Zahl 6.728 durch die Zahl 2 teilbar?

Da die letzte Ziffer 8 eine gerade Zahl und somit durch die Zahl 2 teilbar ist, ist auch die Zahl 6.728 ist durch die Zahl 2 teilbar (6.728 ÷ 2 = 3.364).

• Eine Zahl ist durch die Zahl 4 teilbar, wenn ihre letzten beiden Stellen „00“ sind oder die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch die Zahl 4 teilbar ist.

Beispiel: Ist die Zahl 3.024 durch die Zahl 4 teilbar?

Da die letzten beiden Ziffern die Zahl 24 ergeben und die Zahl 24 durch die Zahl 4 teilbar ist (24 ÷ 4 = 6), ist auch die Zahl 3.024 ist durch die Zahl 4 teilbar (3.024 ÷ 4 = 756).

• Eine Zahl ist durch die Zahl 5 teilbar, wenn ihre letzte Stelle die Ziffer „5“ oder die Ziffer „0“ ist.

Beispiel: Ist die Zahl 3.870 durch die Zahl 5 teilbar?

Da die letzte Ziffer eine „0“ ist, ist die Zahl 3.870 durch die Zahl 5 teilbar (3.870 ÷ 5 = 774).

• Eine natürliche Zahl ist durch die Zahl 8 teilbar, wenn ihre letzten drei Stellen „000“ sind oder die aus den letzten drei Ziffern gebildete Zahl durch die Zahl 8 teilbar ist.

Beispiel: Ist die Zahl 67.128 ist durch die Zahl 8 teilbar?

Da die letzten drei Ziffern die Zahl 128 ergeben und die Zahl 128 durch die Zahl 8 teilbar ist (128 ÷ 8 = 16), ist auch die Zahl 67.128 ist durch die Zahl 8 teilbar (67.128 ÷ 8 = 8.391).

• Eine natürliche Zahl ist durch die Zahl 10 teilbar, wenn ihre letzte Stelle eine „0“ ist.

Beispiel: Ist die Zahl 9.970 durch die Zahl 10 teilbar?

Da die letzte Stelle eine „0“ ist, ist die Zahl 9970 durch die Zahl 10 teilbar (9.970 ÷ 10 = 997).

• Eine Zahl ist durch die Zahl 20 teilbar, wenn ihre letzte Stelle eine „0“ und ihre vorletzte Stelle eine gerade Zahl ist.

Beispiel: Ist die Zahl 7.180 durch die Zahl 20 teilbar?

Da die letzte Ziffer eine „0“ und die vorletzte Ziffer „8“ eine gerade Zahl ist, ist die Zahl 7.180 durch die Zahl 20 teilbar (7.180 ÷ 20 = 359).

Kombinieren von Teilbarkeitsregeln (Beispiele)

Durch einfaches Kombinieren von Teilbarkeitsregeln können weitere Regeln abgeleitet werden.

• Eine Zahl ist durch die Zahl 12 teilbar, wenn sie durch die Zahl 3 und auch durch die Zahl 4 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch die Zahl 15 teilbar, wenn sie durch die Zahl 3 und auch durch die Zahl 5 teilbar ist.
• Eine Zahl ist durch die Zahl 18 teilbar, wenn sie durch die Zahl 2 und auch durch die Zahl 9 teilbar ist.

Download

Die Teilbarkeitsregeln zum Ausdrucken enthalten neben den oben bereits genannten Teilbarkeitsregeln noch ein paar weitere Regeln.

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