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Veröffentlicht am 13.06.2020
Bruchrechnung und Dreisatz – die geheimen Pfaden in den Matheolymp – Teil 2
Ausnahmsweise findet unser Live-Stream diese Woche am Mittwoch, den 17.06.20 statt.
Da wir uns beim letzten Mal etwas verquatscht hatten, holen wir dieses Mal das Thema Dreisatz nach. Eine Rechentechnik, die jeden das gesamte Leben begleitet, wenn auch oft unbewusst. Im Supermarkt zum Beispiel, wo sich Preise für Obst oder Gemüse oft nicht einheitlich auf 1000 Gramm beziehen. Um herauszufinden, ob Obst A nun billiger oder teuerer als Obst B ist, wendet jeder den Dreisatz an. Auch in der Schule bleibt er bis in die Oberstufe höchst relevant. Wer den Dreisatz beherrscht, dem fällt Mathe und auch der Alltag leichter.
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Stream-Thema: Dreisatz – Norberts Dreisatzschema
In der Schule wird der Dreisatz in aller Regel immer gleich (kompliziert) unterrichtet. Tatsächlich gibt es einfachere Wege, um zum gleichen Ergebnis zu kommen. Der Dreisatz, wie er von unserem Interviewpartner Norbert unterrichtet wird, ist heute nicht mehr Teil des Lehrplans, obwohl seine Dreisatztechnik einfacher und eingängiger ist.
Einmal gelernt, hilft dir Norberts Technik, selbst Prozentrechnen und Zinsrechnen im Kopf zu schaffen.
Satz 1 – Feststellung: Was haben wir, was suchen wir?
Als erster Schritt müssen wir herausfinden, was denn unsere Ausgangsgrößen sind und welche Zielgröße wir berechnen wollen.
Beim Einkauf auf dem Markt wollen wir z.B. der Preis von Bioäpfeln mit normalen Äpfeln vergleichen. Allerdings wird der Preis der Bioäpfel pro 3 Äpfel angegeben. Der Preis der normalen Äpfel hingegen bezieht sich auf 7 Äpfel.
3 Bioäpfeln kosten 5 €. -> BioA (3)= 5
7 normale Äpfeln 10 €. -> NorA (7)= 10
Wir kennen also den Preis für 3 Bioäpfeln und wollen wissen, wie viel 7 Bioäpfeln kosten, um sie mit dem Preis der normalen Äpfel vergleichen zu können. Diese Infos setzen wir nun in unser Schema ein.
Hierbei ist“A“ 3 Bioäpfel. Sie stellen unsere Grundgröße dar. Zur Grundgröße „A“ gehört die „gesuchte“ Grundgröße „B“. „Gesucht“ in Anführungszeichen, da wir diese Größe ja bereits kennen (5€). Allerdings ist dies die Grundgröße des Gesuchten, also die Größe mit dessen Hilfe wir den Preis von 7 Bioäpfeln berechnen wollen. Da es die Grundgröße des Gesuchten ist, nennen wir es auch „gesuchte“ Grundgröße.
Die „1“ bleibt als Grundeinheit unverändert. Sie steht für den Preis von einem Apfel.
„C“ stellt die neue Grundgröße dar, die 7 Bioäpfel sein soll.
„D“ ist die tatsächlich gesuchte Größe, eben der Preis für 7 Bioäpfel.
Nachdem wir nun wissen, was wir bereits kennen und was wir suchen und die Zahlen in unser Schema eingesetzt haben, formen wir das Schema in eine mathematische Gleichung. Zu allererst radieren wir das „D“ weg und machen einen Bruchstrich an dessen Stelle.
„B“, also die Grundgröße des gesuchten Werts kommt nun auf den Bruchstrich, vollkommen egal, ob der Dreisatz proportional oder gegenproportional (auch fälschlicherweise antiproportional genannt) ist. „B“ kommt immer auf den Bruchstrich.
Satz 2 – Kostet 1 Apfel mehr oder weniger als 3 Äpfel?
Als nächstes Stellen wir uns die Frage: „Kostet / braucht 1 mehr oder weniger als A?“ Die Frage ist also, ob 1 Bioapfel mehr oder weniger als drei Bioäpfel („A“) kostet?
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Wenn mehr, dann kommt „A“ (3 BioA) auf den Bruchstrich und wir mit „B“ („gesuchte“ Grundgröße: 5€) multipliziert.
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Wenn weniger, dann komm „A“ (3 BioA) unter den Bruchstrich und teilt damit „B“ („gesuchte“ Grundgröße: 5€).
Da 1 Bioapfel weniger kostet als 3 Bioäpfel, kommt „A“ unter den Bruchstrich.
Satz 3 – Kosten 7 Apfel mehr oder weniger als 1 Apfel?
Nun muss noch eine zweite, fast identische Frage gestellt werden. „Kostet / braucht C mehr oder weniger als 1?“ Es wird also danach gefragt, ob 7 Bioäpfel mehr oder weniger als 1 Bioapfel kosten?
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Wenn mehr, dann kommt „C“ auf den Bruchstrich.
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Wenn weniger, dann kommt „C“ unter den Bruchstrich.
Da 7 Bioäpfel mehr als 1 Bioapfel kosten, kommt „C“ unter den Bruchstrich.
Letzter Schritt:
Am Ende steht die Formel (siehe untern), in die wir unsere Daten einsetzen. Jetzt müssen wir die Formel nur noch ausrechnen und haben das gesuchte Ergebnis. 7 Bioäpfel kosten in unserem Beispiel. 11,60€. Damit sind 7 Bioäpfel um 11,60 € teurer als 7 normale Äpfel, die nur 10 € kosten.
Beispiel 2:
Hier ein zweites Beispiel. Statt mit Äpfeln mit Arbeitern. Wir haben 3 Arbeiter, die gemeinsam 5 Stunden brauchen um etwas aufzubauen. Jetzt wollen wir aber heraus finen, wie lange wohl 7 Arbeiter brauchen.
1. Satz – Feststellung: 3 Arbeiter brauchen 5 Studen.
A: Grundgröße= 3;
B: „gesuchte“ Grundgröße= 5;
C: Neue Größe= 7;
D: Gesuchte Größe
Somit wissen wir bereits, das auf dem Bruchstrich „B“, also 5 Stunden, kommt.
2. Satz – Braucht 1 Arbeiter mehr oder weniger als 3 Arbeiter?
Die Antwort ist natürlich mehr, „A“, also die 3 Arbeiter kommen auf den Bruchstrich
3. Satz – Brauchen 7 Arbeiter mehr oder weniger als 1 Arbeiter?
Natürlich brauchen 7 Arbeiter weniger Zeit. „C“, also 7 Arbeiter, kommt unter den Bruchstrich.
Also Formel:
Beispiel 3 – Prozent- und Zinsrechnen mit Dreisatz:
Was sind 20% von 150€?
1. Satz – Feststellung: 150 € sind 100%
A: 100%
B: 150€
C: 20%
D: Gesuchte Größe – 20% von 150
2. Satz – Sind 1% von 150€ mehr oder weniger als 100% von 150€?
1% von 150€ sind weniger als 100% von 150€. „A“ (100%) kommt unter den Bruchstrich.
3. Satz – Sind 20% von 150€ mehr oder weniger als 1% von 150€?
Natürlich sind 20% von 150€ mehr als 1% von 150€. „C“ (20%) kommt auf den Bruchstrich.
Als Formel:
