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Bruchrechnen einfach erklärt

20.08.2019

Bruchrechnung ist für viele Schüler und Schülerinnen missverständlich und schwierig. Neben den normalen Gesetzen der einzelnen Rechenarten kommen weitere Rechenvorschriften hinzu, welche beim Rechnen mit Brüchen oder Bruchzahlen beachtet werden müssen.

Besonders bei Text- und Sachaufgaben mit Brüchen ist es wichtig, die Grundlagen der Bruchrechnung zu beherrschen, um sich auf die Aufgabe und deren Lösungsansätze konzentrieren zu können.

Dieser Blogbeitrag stellt die Rechenregeln einfach und verständlich dar, nach denen man mit Brüchen rechnet, also sie addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert, sie in Dezimalzahlen (Kommazahlen) umwandelt oder umformt („auf einen Nenner bringt“).

Bevor es aber um Rechenregeln geht, ist die Erläuterung wesentlicher Grundlagen notwendig, um die einzelnen Rechengesetze und die Beispiele besser verstehen zu können.

Grundlagen der Bruchrechnung

Was ist ein Bruch beziehungswiese eine Bruchzahl?

Ein Bruch (eine Bruchzahl) kann man als Quotient zweier ganzer Zahlen beschreiben. Der Bruchstrich stellt dabei nicht anderes an ein „Geteilt-Zeichen“ dar.

Die Zahlen oberhalb des Bruchstriches werden als Zähler bezeichnet.

Die Zahlen unterhalb des Bruchstriches werden als Nenner bezeichnet.


Bei Brüchen darf der Nenner niemals Null (Nenner ≠ 0) sein, da die Division durch die Zahl Null nicht definiert ist.

Welche Arten von Brüchen gibt es?

Ein echter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler kleiner ist als der Nenner. Teilt man Zähler durch Nenner ist das Ergebnis immer kleiner als Eins.

Beispiel:

Ein unechter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Nenner kleiner als der Zähler ist oder Zähler und Nenner gleich groß sind. Teilt man Zähler durch Nenner ist das Ergebnis immer größer oder gleich Eins.

Beispiel:

Ein besonderer Fall eines unechten Bruches ist der Scheinbruch. Bei einem Scheinbruch sind Zähler und Nenner gleich groß. Teilt man Zähler durch Nenner ist das Ergebnis immer gleich Eins.

Beispiel:

Ein Dezimalbruch ist ein Bruch, dessen Nenner eine Potenz von 10 mit natürlichem Exponenten ist.

Die allgemeine Darstellung eines Dezimalbruches ist:

 

Beispiel:

Ein gemischter Bruch ist eine besondere Darstellung eines unechten Bruches. Man kann jeden unechten Bruch in einen gemischten Bruch umwandeln (auch umgekehrt). Der unechte Bruch wird beim Umwandeln dargestellt in einer ganzen Zahl und dem übrigbleibenden echten Bruch.

Beispiel:

Hinweis: Das Umwandeln von einem unechten Bruch in einen gemischten Bruch wird später noch genauer beschrieben.

Gleichnamige Brüche sind Brüche, deren Nenner gleich sind.

Beispiel:

Alle Brüche haben den gleichen Nenner und sind deshalb gleichnamig.

Ungleichnamige Brüche sind Brüche, deren Nenner unterschiedlich sind.

Beispiel:

Alle Brüche haben einen unterschiedlichen Nenner und sind deshalb ungleichnamig.

Wert eines Bruches

Der Wert eines Bruchs wird durch die Zahl (Dezimalzahl) bestimmt, welche der Bruch darstellt. Dabei können unterschiedliche Brüche den gleichen Wert haben.

Der Wert eines Bruches wird bestimmt, indem man den Bruch in eine Dezimalzahl umwandelt. (siehe 2.1. Umwandeln eines Bruches in eine Dezimalzahl)

Beispiel:

Alle Brüche haben den Wert 0,5.

Umwandeln von Brüchen und Dezimalzahlen

Umwandeln eines Bruchs in eine Dezimalzahl

 Brüche mit Zehnerpotenzen im Nenner

Brüche mit Zehnerpotenzen im Nenner werden in Dezimalzahlen umgewandelt, indem man die Anzahl der Nullen im Nenner zählt und diese bei der Dezimalzahl als Nachkommastellen nimmt.

Beispiel:

Die Zehnerpotenz im Nenner hat eine „0“. Daraus folgt, dass die Dezimalzahl eine Stelle nach dem Komma hat.
Die Zehnerpotenz im Nenner hat zwei „0“. Daraus folgt, dass die Dezimalzahl zwei Stellen nach dem Komma hat.

Hinweis: Dieser Art der Darstellung wird auch als Prozent („von hundert“) bezeichnet, in diesem Beispiel also 36 Prozent oder 36 per cento.

 

Die Zehnerpotenz im Nenner hat drei „0“. Daraus folgt, dass die Dezimalzahl drei Stellen nach dem Komma hat.

Hinweis: Dieser Art der Darstellung wird auch als Promille („von Tausend“) bezeichnet, in diesem Beispiel als 36 Promille oder 36 per millo.

Erweitern in eine Zehnerpotenz im Nenner

Beim Umwandeln durch Erweitern in eine Zehnerpotenz wird der Zähler und der Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert, so dass unter dem Bruchstrich eine Zehnerpotenz entsteht. Anschließend wird nach dem Vorgehen beim Umwandeln von Brüchen mit Zehnerpotenzen im Nenner verfahren.

Beispiel:

Das Thema „Erweitern von Brüchen“ wird im Verlauf dieses Beitrages noch genauer behandelt.

Umwandeln durch schriftliche Division (oder Taschenrechner)

Durch das Teilen des Zählers durch den Nenner kann jeder Bruch in einer Dezimalzahl umgewandelt werden. Hierbei ist jedoch zu beachten, dass das Weiterrechnen mit Dezimalzahlen, welche sehr viele oder unendlich viele Nachkommastellen haben, zu rechnerischen Ungenauigkeiten führen kann.

Beispiel:

Umwandeln einer Dezimalzahl in einen Bruch

Beim Umwandeln einer Dezimalzahl in einen Bruch wird die Anzahl der Nachkommastellen gezählt und als Zehnerpotenz in den Nenner überführt. Als Zähler wird die Dezimalzahl ohne Komma eingesetzt.

Beispiel:

Die Dezimalzahl hat eine Kommastelle.  Daraus folgt, dass der Bruch im Nenner eine „0“ nach der Eins hat, also eine „10“ ist.

 

Die Dezimalzahl hat zwei Kommastellen.  Daraus folgt, dass der Bruch im Nenner zwei „0“ nach der Eins hat, also „100“ ist.

Umwandeln eines gemischten Bruchs in einen unechten Bruch

Ein gemischter Bruch kann auch dargestellt werden durch:

Beispiel:

Um die ganze Zahl in einen Bruch umzuwandeln, erweitert man diese mit der Nennerzahl des Bruches und addiert beide Brüche anschließend. (vgl. Erweitern von Brüchen und Addition von Brüchen)

Beispiel:

Eine etwas andere „Idee“ lautet:

Nenner x Ganze Zahl + Zähler = neuer Zähler. Der Nenner bleibt gleich.

Beispiel:

Umwandeln eines unechten Bruchs in einen gemischten Bruch

Es können generell nur unechte Brüche, also Brüche deren Zähler größer ist als der Nenner, in einen gemischten Bruch umgewandelt werden.

Beim Umwandeln eines unechten Bruches in einen gemischten Bruch wird der Zähler durch den Nenner geteilt. Dabei ergibt:

  • Die ganze Zahl nach der Division wird die ganze Zahl des neuen gemischten Bruches.
  • Der Rest nach der Division wird der Zähler des neuen gemischten Bruches.
  • Der Nenner bleibt gleich.

Beispiel:

Erweitern und Kürzen von Brüchen

Erweitern von Brüchen

Ein Bruch wird erweitert, indem man den Zähler und den Nenner des Bruchs mit der gleichen Zahl multipliziert. Eine Multiplikation mit der Zahl „0“ist unzulässig. Der Wert des Bruchs bleibt dabei unverändert.

Die Zahl, mit der Zähler und Nenner erweitert werden, heißt Erweiterungszahl (Erweiterungsfaktor)

 Beispiel:

Der Wert des Bruches ist unverändert 0,25.

Kürzen von Brüchen

Ein Bruch wird gekürzt, indem man den Zähler und den Nenner des Bruchs durch die gleiche Zahl dividiert. Kürzen mit der Zahl „0“ ist unzulässig. Der Wert des Bruchs bleibt dabei unverändert.

Die Zahl, mit der Zähler und Nenner gekürzt werden, heißt Kürzungszahl (Kürzungsdivisor)

Beispiel:

Der Wert des Bruches ist unverändert 0,5.

Brüche gleichnamig machen (Hauptnenner bilden bzw. mehrere Brüche „auf einen Nenner bringen“)

Brüche werden gleichnamig gemacht, indem durch Kürzen oder Erweitern der gleiche Nenner gebildet wird.

Umgangssprachlich wird häufig auch gesagt, dass verschiedene Dinge auf einen „Nenner gebracht werden“, um sie vergleichbar zu machen.

Das Gleichnamig machen von Brüchen erfolgt in drei Schritten:

Hauptnenner bilden

Als Hauptnenner versteht man diejenige Nennerzahl, die ein gemeinsames Vielfaches (das kleinste gemeinsame Vielfache) aller im Term dargestellten Brüche bildet.

Beispiel:

Es wird jetzt eine Zahl gesucht, die das gleiche Vielfache von 5 – 9 – 2.

Eine mögliche gemeinsame Nennerzahl wäre 90, da die Zahl 90 durch 5, 9 und 2 gleichermaßen teilbar ist.

Erweiterungszahl bestimmen

Bruch auf den Hauptnenner erweitern

Wer die Bildung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) nicht beherrscht oder kein gemeinsames Vielfaches findet, kann sich durch einen kleinen „Trick“ helfen. Dabei werden die Nenner aller gleichnamig zu machenden Brüche miteinander multipliziert.

In diesem Fall also: 9 x 5 x 2 = 90.

Den Kehrwert (das Reziprok) eines Bruches bilden

Der Kehrwert einer Zahl ≠ 0, ist diejenige Zahl „x-1“ (oder 1/x), welche mit „x“ multipliziert die Zahl „1“ ergibt.

Der Kehrwert eines Bruches wird gebildet, indem man Zähler und Nenner miteinander tauscht.

Beispiel:

Die Addition von Brüchen

Gleichnamige Brüche werden addiert, indem man ihre Zähler addiert.

Beispiel:

Ungleichnamige Brüche werden addiert, indem man diese gleichnamig macht („auf einen Nenner bringt“) und anschließend addiert.

Beispiel:

Die Subtraktion von Brüchen

Gleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man ihre Zähler subtrahiert.

Beispiel:

Ungleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man diese gleichnamig macht („auf einen Nenner bringt“) und anschließend subtrahiert.

Beispiel:

Die Multiplikation von Brüchen

Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.

Beispiel:

Die Division von Brüchen

Brüche werden dividiert, indem man den Dividenden mit dem Kehrwert (Reziprok) des Divisors multipliziert. (Umgangssprachlich: Brüche werden dividiert, indem man den ersten mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert.)

Beispiel:

Eine andere Darstellung der Division von Brüchen ist der Doppelbruch. Bei Doppelbrüchen gelten die gleichen Rechenregeln wie bei der Division von Brüchen.

Beispiel:

 Fazit:

„Mathematik, wofür brauche ich das eigentlich?“, fragen sich sicherlich wieder einige nach dem Lesen dieses Blogbeitrags.

Doch zählt das Rechnen mit Brüchen zu einer der wesentlichen Grundlagen nicht nur für den Alltag, sondern insbesondere für Mathematik in den höheren Klassen.

Es empfiehlt sich daher, sich immer wieder mit dem Bruchrechnen und dessen mathematischen Gesetzen und Vorschriften zu befassen.

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