Quadratische Gleichungen
Veröffentlicht am 08.12.2020
Angstfach Mathematik – „die hauslehrer“ Facebook Stream
In diesem Stream wollen wir uns mit den guten alten quadratischen Gleichungen beschäftigen. In der 9. Klasse lernen die meisten Schüler in Deutschland die Gleichung mit dem x2 kennen.
Mit den quadratischen Gleichungen lernen Schüler außerdem die binomischen Formeln kennen und eine neue Linienführung in Diagrammen. Von nun an findet man eher selten einfache Geraden im Koordinatensystem. Dafür müssen sich Schüler an die kurvenreichen Parabeln gewöhnen. Wie die Geraden haben Parabeln bestimmte Eigenschaften wie Schnittpunkte oder Scheitelpunkte, die Schüler durch geschicktes Umstellen der quadratischen Gleichung herausfinden müssen.
In unserem Facebook Live Stream am Dienstag, den 08.12.20, um 18 Uhr sowie am 15.12.20 um 18 Uhr stellen wir die quadratische Gleichung vor und gehen auf die wichtigsten Inhalte zum Thema ein.
Stream Inhalt:
Mathematische Gleichungen beschreiben die Realität
Quadratische Gleichungen gehören zu den mathematischen Funktionen. Funktionen sollen möglichst realitätsgetreu Prozesse aus dem Leben darstellen. Zu den mathematischen Funktionen gehören auch die linearen Gleichungen (z.B. y=mx+b) oder kubische Gleichungen (z.B. y=ax3 +bx2+cx+d)
Lineare Gleichungen
Lineare Funktionen beschreiben z.B. den täglichen Schulweg. Wenn man auf der x-Achse Zeit einträgt und auf der y-Achse den zurückgelegten Weg, dann wird der zurückgelegte Weg/Strecke eine Gerade darstellen, die je nach Lauftempo steiler oder flacher ist. Denn mit jeder vergangenen Zeiteinheit legt man bei konstanter Laufgeschwindigkeit den gleichen Weg zurück.
Quadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen beschreiben unteranderem die Fahrt mit dem Fahrrad bis zu einem Stop. Im Gegensatz zum Laufen existiert beim Fahrradfahren ein größerer Zeitraum, in dem beschleunigt wird. Zu Fuß erreicht man hingegen quasi sofot die maximale Laufgeschwindigkeit. Pro Zeiteinheit nimmt beim Fahrradfahren in der Phase der Beschleunigung die Geschwindigkeit zu. In unserem Zeit*Strecke-Diagramm bedeutet dies, dass anfangs die zurückgelegte Strecke pro Zeiteinheit zunimmt. Ein steiler Anstieg unserer gezeichneten Linie ist die Folge. Je näher man an der Maximalgeschwindigkeit herankommt, desto geringer wird die Beschleunigung. Man legt also nicht mehr so viel Strecke pro Zeit zurück. Schließlich ist die Maximalgeschwindigkeit (Scheitelpunkt) erreicht und unsere Linie flacht ab. Nun startet der Bremsweg. Normalerweise bremst man nicht abrupt ab, sondern erst leicht, dann stärker. Die Linie in unserem Diagramm fällt also, da immer weniger Strecke pro Zeit zurückgelegt wird. Erst leicht, dann immer steiler. Schließlich kommen wir zum Stillstand und die Linie im Diagramm ist auf der x-Achse, also bei y=0, angekommen.
Aufbau von Gleichungen
Mathematische Funktionen sind immer ihrer Normalform stets gleich aufgebaut. Auch wenn zur Verwirrung der Schüler unterschiedliche Buchstaben als Variable genutzt werden.
Lineare Gleichung:
y=mx+b (oder mit sinnvoller Buchstabenzuordnung: y=ax+b)
Quadratische Gleichung (Gleichung zweiten Grades:
y= ax2 + bx + c
Kubische Gleichung (Gleichung dritten Grades):
y= ax3 + bx2 + cx + d
Gleichungen vierten Grades:
y= ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Es fällt auf, dass immer die gleichen Buchstaben vorkommen und allgemein die gleiche Struktur eingehalten wird. Abgesehen von der Normalform der linearen Gleichung, die warum auch immer mit „m“ statt mit „a“ beginnt, hält man sich an der Reihenfolge des Alphabets. Die Buchstaben vor den „x“ werden also alphabetisch zugeteilt.
Fun Fact: In der Mathematik existiert eigentlich keine Gerade. Man spricht immer von Kurven. Eine Gerade hat einfach die Krümmung=0 und sieht daher aus wie eine Gerade.
Form von Qaudratischen Gleichungen
Quadratische Gleichungen sind immer Parabeln. Sie sehen also aus wie ein „U“, nur sind sie manchmal stärker und manchmal schwächer gekrümmt. Allerdings können Parabeln auch wie ein „n“aussehen. Sie sind also entweder nach oben oder nach untern geöffnet. Wie genau sie aussehen, ist abhängig davon, ob „x2“ positiv oder negativ „-x2“ ist. Als kleine Eselsbrücke kann man sich eine Schüssel vorstellen, die, wenn sie richtig herum steht, mit Müsli gefüllt werden kann. Der Inhalt wird also mehr. „x“ ist positiv „x2“. Steht die Schüssel hingegen auf dem Kopf, fällt das Müsli heraus. Der Inhalt wird weniger. „x“ ist negativ „-x2“.
Schnittpunkt mit der y-Achse
Alle Gleichungen sind sowohl im Negativen als auch im positiven Bereich unendlich lang. Somit kreuzen alle irgendwann die y-Achse. Bei allen Gleichungen berechnet man den Schnittpunkt mit der y-Achse auf die gleiche Weise. Man setzt für jedes „x“ eine „0“ ein. Denn der Schnittpunkt mit der y-Achse ist immer dort, wo auf der x-Achse „0“ steht. Egal welche Gleichung man letztendlich vor sich liegen hat, wenn sie in Normalform geschrieben ist, ist der Schnittpunkt mit der y-Achse an der Zahl ohne „x“ ablesbar.
Bsp:
y= 10×2 + 3x + 3 –> Sy(0|3)
oder:
y= 5×2 + 1x + 5×2 + x + 3
–> x=0
y= 5*0x2 + 1*0 + 5*0x2 + 0 + 3
y= 0 + 0 + 0 + 0 + 3
y= 3
Schnittpunkt mit der x-Achse
Grundsätzlich ist die Berechnung des Schnittpunktes mit der x-Achse identisch mit der Berechnung mit des y-Achsen Schnittpunktes. Allerdings ist der Rechenweg etwas komplexer. Wie auch bei „y“ stetzt man hier etwas gleich „0“. Nur ist es nicht „x“ sonder „y“.
Bsp:
y= 10×2 + 3x + 3
–> y=0
0= 10×2 + 3x + 3
Hier kommt die PQ-Formel zum Einsatz