Textaufgaben in der Bruchrechnung

Veröffentlicht am 30.10.2016

Textaufgaben verstehen lernen oder besser das Lösen von Textaufgaben mit Bruchrechnung oder auch nur das Rechnen mit Brüchen ist für viele Schüler eine Herausforderung. Zum einen muss der Inhalt der Textaufgabe verstanden und ein Lösungsweg entwickelt werden. Zum anderen muss der Schüler die Rechengesetze für Bruchrechnung beherrschen. Hierbei verlieren die Schüler oft den Überblick und versuchen, unstrukturiert eine Lösungsstrategie zu entwickeln oder rechnen einfach drauf los. Wird das Thema in der Schule nicht ausreichend behandelt, kommt der Mathe-Nachhilfe und dem Üben mit Geschwistern oder den Eltern eine besondere Bedeutung zu.

Im Blogbeitrag „Mathe – Textaufgaben lösen“ wurde schon Allgemeines zu Textaufgaben-verstehen-lernen geschrieben und Tipps für einen generellen Lösungsansatz gegeben. Um Textaufgaben mit Brüchen zu lösen, werden die Allgemeinen Tipps zu Sachaufgaben im folgenden Beitrag um Informationen zum Bruchrechnen ergänzt.

Bevor man mit dem Schüler direkt Textaufgaben übt, sollte geprüft werden, ob die mathematischen Grundlagen für das Lösen dieser Aufgabe vorhanden sind. Dieses geht am besten durch eine kurze Wiederholung der entsprechenden Gesetze und einfachen Übungsaufgaben. Sitzen die Grundlagen (Bruch- und Wurzelgesetze, Potenzgesetze, etc.) können Textaufgaben wie „ganz normale“ Mathe-Textaufgaben gelöst werden.

Die wichtigsten Regeln der Bruchgesetzte

1. Vorzeichenregel
   ^-a / _{b =} ^a / _{-b = –}^a / _b
   oder
   ^-a / _{-b =} ^a / _b
2. Erweitern von Brüchen (c≠0)
   ^a / _{b =} ^{a · c} / _{b · c}
3. Addition von Brüchen
   ^a / _{b +} ^c / _{d =} ^{a · d + c · b} /  _{b · d}
4. Subtraktion von Brüchen
   ^a / _{b –} ^c / _{d =} ^{a · d – c · b} / _{b · d}
5. Multiplikation von Brüchen
   ^a / _{b ·} ^c / _{d =} ^{a · c} / _{b · d}
6. Division von Brüchen
   a / b : c / d = a / b  · d / c = a · d / b · c

Je komplexer und unübersichtlicher eine Aufgabe ist, umso mehr kommt der Übersichtlichkeit beim Rechnen eine Bedeutung zu. Zur besseren Übersicht sollten mathematische Operatoren untereinander geschrieben werden und bei jedem Rechenschritt erkennbar dargestellt, was zur nächsten Darstellung oder abschließend zum Ergebnis führt.

a + 2b + 2(a – c) = a – b                | Ausklammern | Zusammenfassen
       3a + 2b – 2c = a – b                | -2b | +2c
3a = a – 3b + 2c                             | – a
2a = 3b + 2c                                   | : 2

                         a = 1,5b + c

Das nachfolgende komplexe Aufgabenbeispiel soll helfen, Mathe-Textaufgaben mit Brüchen einfacher lösen zu können. Als exemplarisches Beispiel wurde eine Textaufgabe mit Bruchrechnung 6. Klasse Gymnasium als Schwierigkeitsgrad gewählt.

Rechenübung Textaufgabe mit Bruchrechnung 6. Klasse Gymnasium

Aufgabe:

Frau Müller verkauft auf dem Bauernmarkt 80 Kg Obst für insgesamt 112 Euro. Die Gesamtmenge des Obstes setzt sich zusammen aus 2/8 Birnen (Kilogramm je 2,40), 30 Kg Äpfel und dem Rest aus Pflaumen für je 3,60 Euro das Kilogramm.

Fragen:

1. Wieviel Einnahmen hat Frau Müller mit  Pflaumen?
2. Hat Frau Müller mehr Einnahmen mit den Äpfeln oder den Birnen?
3. Wieviel Einnahmen hat Frau Müller insgesamt, wenn sie die Pflaumen und die Birnen für ein Drittel mehr verkaufen kann?

1. Lesen der Textaufgabe und Herausfinden der Fragestellung.

1. Wieviel Einnahmen hat Frau Müller mit  Pflaumen?
   IDEE: Menge Pflaumen x Preis Pflaumen
2. Hat Frau Müller mehr Einnahmen mit  den Äpfeln oder den Birnen?
   IDEE:  (Menge Äpfel x Preis Äpfel) – (Menge Birnen x Preis Birnen)
3. Wieviel Einnahmen hat Frau Müller insgesamt, wenn sie die Pflaumen und die Birnen für ein Drittel mehr verkaufen kann?
   IDEE:  (Gesamtpreis Pflaumen + 1/3) + (Gesamtpreis Birnen + 1/3) + Gesamtpreis Äpfel

2. Herausfinden der Informationen zur Beantwortung der Frage.

Frau Müller verkauft auf dem Bauernmarkt 80 kg Obst für insgesamt 120 Euro. Die Gesamtmenge des Obstes setzt sich zusammen aus 2/8 Birnen (Kilogramm je 1,50), 30 Kg Äpfel und dem Rest aus Pflaumen für 1,60 Euro das Kilogramm.

3. Übertragung der Aufgabeninformationen ins Heft

Hinweis: Beim Herausschreiben der Informationen sollen nur diejenigen Informationen übertragen werden, die für die Lösung der Aufgabe wirklich notwendig sind. Alle anderen (überflüssigen) Informationen gehören nicht ins Mathe-Heft.

Gegeben:

1. 80 Kg Obst = 120,00 €
2. 2/8 Birnen = 1,50 €/kg
3. 30 kg Äpfel
4. Pflaumen   = 1,60 €/kg

Gesucht:

1. Gesamtpreis Pflaumen?
2. Gesamtpreis Äpfel ≥ Gesamtpreis Birnen?
3. Gesamtpreis (Pflaumen + 1/3) + (Birnen + 1/3) + Äpfel?

 4. Die Lösung – vom Einfachen zum Schweren

Hinweis: Die Aufgaben sollten „frageweise“ beantwortet werden. Dabei wird zuerst eine mathematische Formel aufgestellt, mit der anschließend gerechnet wird. Am besten fängt man mit der Frage an, die am einfachsten zu berechnen ist.

Lösung zu A:                   

Hinweis: Beim Finden der Lösung sollte schrittweise vorgegangen werden. Auch wenn es anfangs mehr Schreiben bedeutet, so können doch die Lösungsansätze leichter nachvollzogen und eventuelle Rechenfehler leichter gefunden werden.

1. Aufstellen der Formel Menge Birnen
   ⁸⁰ / _1 · ² / _{8 = Menge}
2. Ausmultiplizieren/ Gleichnamig machen
   ⁸⁰ / _1 · ² / ₈ = ⁸⁰ / _1 · ¹ / _{4 =} ⁸⁰ / ₄
3. Ausrechnen Menge Birnen
   ⁸⁰ / ₄ = 20
4. Aufstellen der Formel Menge Pflaumen
   80 – 20 – 30 = Menge
5. Ausrechnen Menge Pflaumen
   80 – 20 – 30 = 30
6. Ausrechnen Menge Preis Pflaumen
   30 · 1,60 = 48,00

A: Frau Müller hat mit Pflaumen insgesamt 48,00 Euro Einnahmen.

Lösung zu B:     

Hinweis: In den Folgelösungen müssen bereits berechnete Lösungen/ Teillösungen nicht mehr neu berechnet werden. Die Teilergebnisse können einfach übertragen werden.

Die Struktur des Lösungsweges bleibt jedoch immer gleich.

1. Ausrechnen Preis Birnen
   20 · 1,50 = 30,00
2. Aufstellen Formel Preis Äpfel
   120,00 – 48,00 – 30,00 = x

A: Frau Müller hat mit den Äpfeln 12,00 Euro mehr Einnahmen.

Lösung zu C:     

Hinweis: Bei der Vermischung von Ganzen Zahlen und Bruchzahlen muss darauf geachtet werden, entweder mit Brüchen oder Dezimalzahlen zu rechnen. Bei der Rechnung mit Dezimalzahlen kann es zu Abweichungen kommen, die das Ergebnis trotz richtigem Lösungsweg und Ausrechnen als fasch erscheinen lässt. Unser Tipp: Bei Textaufgaben mit Bruchrechnen oder auch anderen Aufgaben in Mathe so lange es geht den Taschenrechner beiseite und mit den Brüchen rechnen.

1. Aufstellen der Formel Neuer Preis Pflaumen
   48,00 · ¹ / ₃ + 48,00 = x
2. Ausrechnen (Bruch- vor Strichrechnung)
   x = 64,00
3. Aufstellen der Formel Neuer Preis Birnen
   30,00 · ¹ / ₃ + 30,00 = x
4. Ausrechnen
   x = 40,00
5. Aufstellen der Gesamtformel
   42,00 + 40,00 + 64,00 = x
6. Ausrechnen
   x = 146,00

Im Folgenden werden einzelne Rechenschritte zusammengefasst, um zu verdeutlichen, wie man mit etwas Übung viel Zeit sparen kann.

(48,00 · ¹ / ₃ + 48,00) + (30,00 · ¹ / ₃ + 30,00) + 42 = x

x = 146,00

Lösung:

A: Wenn Frau Müller die Pflaumen und die Birnen für ein Drittel Viertel mehr verkaufen kann, steigen die Einnahmen auf 146,00 Euro.

Geht man Schrit-für-Schritt vor und behält die aufgezeigte Struktur bei, sind Textaufgaben mit Bruchrechnung deutlich einfacher zu verstehen und zu lösen

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Andre Wiesener ist unser Konrektor und Ansprechpartner für Nachhilfe in Limburg & Umgebung.