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Das Umrechnen von Größen und Einheiten in der Mathematik

Veröffentlicht am 10.08.2019

Das Rechnen mit Größen und Einheiten beziehungsweise das Umrechnen oder Umwandeln von Maßzahlen und Einheiten gehört zum Basiswissen in der Schulmathematik.

Obwohl bereits in der Grundschule erstmals mit Größen und Einheiten gerechnet wird, haben viele Schüler und Schülerinnen immer wieder Probleme, gerade in angewandten Aufgaben mit Größen und Einheiten richtig umzugehen.

Besonders Kinder und Jugendliche mit einer diagnostizierten Dyskalkulie oder einer diagnostizierten Rechenschwäche haben hier besondere Herausforderungen zu meistern. Sie benötigen nicht selten Hilfe durch zusätzliche schulische oder außerschulische Fördermaßnahmen.

Im folgenden Blogbeitrag wird der fachwissenschaftliche Hintergrund der Begriffe Größen, Maßzahlen und Einheiten etwas näher beleuchtet. An Beispielen und Umrechnungstabellen wird zudem gezeigt, wie man Größen und Einheiten umrechnet

Am Ende des Blogbeitrages wird ein Arbeitsblatt mit Umrechnungstabellen als Download zur Verfügung gestellt.

Das Rechnen mit Größen und Einheiten wird in einem gesonderten Blogbeitrag erläutert.

 

Begriffsklärungen

Der Begriff „Größe“

Die Schulmathematik unterscheidet zwischen Zahlen und Größen. Der Begriff „Größe“ kommt aus naturwissenschaftlichen Bereichen wie Chemie oder Physik. In der Mathematik beschreibt der Begriff „Größe“ eine messbare bzw. zählbare Eigenschaft unter anderem von Entfernungen, Flächen, Volumen, Zeiten, Geldeinheiten, etc.

Basisgrößen (Grundgrößen) sind Größen, die nicht auf andere Größen zurückzuführen, also voneinander unabhängig sind. Als Beispiele können hier Länge, Gewicht und Zeit aufgeführt werden.

Abgeleitete Größen sind Größen, die durch eine Vorschrift (Definition/ Formel) festgelegt sind. Sie bestehen aus unterschiedlichen Basisgrößen, einer Kombination von Basisgrößen und abgeleiteten Größen oder einer Kombination verschiedener abgeleiteter Größen. Als Beispiele können hier Geschwindigkeit, Flächeninhalt, Rauminhalt oder Dichte aufgeführt werden.

Die Begriffe „Maßeinheit“ und „Maßzahl“

Alle Größen werden durch eine Maßzahl und eine Maßeinheit festgelegt. Das Produkt aus Maßzahl und Maßeinheit beschreibt dabei den zählbaren oder messbaren Wert der Größe.

Größe = Maßzahl xŸ Maßeinheit

Beispiel:          Entfernung = 500 m; Maßzahl: 500 und Maßeinheit: m

Größen mit gleichem Wert können unterschiedliche dargestellt werden. Dabei ändern sich gleichermaßen Maßzahl und Maßeinheit der Größe. Dieses mathematische Verfahren nennt man Umwandeln von Größenangaben beziehungsweise auch Umwandeln von Größen und Einheiten.

Beispiel:          Entfernung = 500 m; Maßzahl: 500 und Maßeinheit: m
                        entspricht
                        Entfernung = 0,5 km; Maßzahl: 0,5 und Maßeinheit: km

Der Begriff Basiseinheit

Basiseinheiten sind „Grundeinheiten“, aus denen sich alle anderen Maßeinheiten mittels einer Umrechnungszahl oder einer Vorschrift (Definition/ Formel) herleiten lassen.

Es gibt 7 Basisgrößen bzw. Basiseinheiten, aus denen alle anderen Größen zusammengesetzt beziehungsweise aus denen andere Maßeinheiten innerhalb einer Größe abgeleitet sind.

Basisgröße

Symbol

Basiseinheit

Symbol

Länge

l

Meter

m

Masse

m

Kilogramm

kg

Zeit

t

Sekunde

s

elektrische Stromstärke

I

Ampere

A

Temperatur

T

Kelvin

K

Stoffmenge

n

Mol

mol

Lichtstärke

I (Iv)

Candela

cd

Tabelle 1: Umrechnungstabelle Längeneinheiten

Beispiel 1:

Durch die Umrechnungszahl 1.000 kann aus der Basiseinheit Kilogramm „kg“ die abgeleitete Maßeinheit Gramm „g“ errechnet werden.

4 kg Ÿ 1.000 à 4 kg = 4000 g

 

Beispiel 2:

Durch die Vorschrift

Volumen = Länge xŸ Breite (Länge 2) Ÿ• Höhe (Länge 3)
bzw.
V = a Ÿ•  b Ÿ• c

kann die abgeleitete Größe Volumen mit der Einheit Kubikmeter errechnet werden.

a = 1 m, b = 1 m, c = 1 m

V = 1 Ÿ•Ÿ 1 Ÿ•Ÿ 1 Ÿ•Ÿ m Ÿ•Ÿ m Ÿ•Ÿ m = 1 m³

Der Begriff „Umrechnen“ bzw. „Umwandeln“ (Verfeinern und Vergröbern)

Das Umrechnen ist eine mathematische Operation, um innerhalb einer Größe zwischen verschiedenen Maßeinheiten wechseln zu können. Dabei wird das Wechseln zu einer kleineren Maßeinheit als Verfeinern und das Wechseln zu einer größeren Maßeinheit als Vergröbern bezeichnet.

Dieses Verfahren ist Grundlage für viele Rechenaufgaben, insbesondere Sachaufgaben, um Größen zum Beispiel addieren und subtrahieren zu können.

Beim Verfeinern von Maßeinheiten wird mit einer Umrechnungszahl multipliziert.

alte Maßzahl (alte Maßeinheit) ŸŸ• Umrechnungszahl neue Maßzahl (neue Maßeinheit)

Beispiel:          Entfernung = 0,5 km; Maßzahl: 0,5 und Maßeinheit: km
                        Umrechnungszahl von Meter zu Kilometer = 1.000
                        0,5 km ŸŸ• 1000 0,5 km = 500 m
                        Entfernung = 500 m; Maßzahl: 500 und Maßeinheit: m

Beim Vergröbern von Maßeinheiten wird durch eine Umrechnungszahl dividiert.

alte Maßzahl (alte Maßeinheit) ÷ Umrechnungszahl ⇒ neue Maßzahl (neue Maßeinheit)

Beispiel:         Entfernung = 500 m; Maßzahl: 500 und Maßeinheit: m
                        Umrechnungszahl von Meter zu Kilometer = 1.000
                        500 m ÷ 1000 ⇒ 500 m = 0,5 km
                        Entfernung = 0,5 km; Maßzahl: 0,5 und Maßeinheit: km

WICHTIG! Durch das Umrechnen von Einheiten ändert sich der Wert der Größe nicht.

Beispiel:          Die Entfernung = 500 m

ist die gleiche Entfernung wie

die Entfernung = 0,5 km

WICHTIG! In der Darstellung des Rechenweges muss darauf geachtet werden, dass keine „falschen Gleichungen“ erzeugt werden.

 FALSCH:        500 m ÷ 1.000 = 0,5 km, denn 500 m ÷ 1000 = 0,5 m
 RICHTIG:      500 ÷ 1.000 = 0,5 ⇒ 500 m = 0,5 km

Übersicht wichtiger Größen und Einheiten im Mathematikunterricht

Größe

Repräsentanten

(Maß-)Einheiten

Entfernung (Länge) Straßen, Schienen, Bäume mm, cm, dm, m, km
Flächeninhalt Fußböden, Wald- und Rasenflächen mm², cm², dm², m², a, ha, km²
Rauminhalt (Volumen) Flaschen, Töpfe, Eimer mm³, cm³ (= ml),  dm³ (= l), hl, m³
Gewicht (Masse) Personen, Tiere, Lebensmittel mg, g, kg, t
Zeit Zeitraum, Alter s, min, h, t, a, (y)
Geldwert Bargeld, Girogeld Cent (ct), Euro (€), $
Geschwindigkeit Autos, Fahrräder, Flugzeuge km/h, m/s

Tabelle 2: Physikalische Basisgrößen und Basiseinheiten

Umrechnen von Entfernungseinheiten bzw. Längeneinheiten

÷ 10

÷ 10

÷ 10

÷ 1000

Ÿmm

Ÿcm

Ÿdm

Ÿm

Ÿkm

ŸŸ• 10

Ÿ•Ÿ 10

Ÿ•Ÿ 10

ŸŸ• 1000

Abbildung 3: Umrechnungstabelle Längeneinheiten

Beispiel 1 (Einfachumrechnung)

5,5 km in m ⇒ Vom Groben zum Feinen bedeutet Multiplizieren
5,5 ŸŸ• 1.000 = 5.500 ⇒ 5,5 km = 5.500 m
(UZ: 1.000)

30 cm in dm à Vom Feinen zum Groben bedeutet Dividieren
30 ÷ 10 = 3 à 30 cm = 3 dm
(UZ: 10)

Beispiel 2 (Mehrfachumrechnung)

 5,5 km in cm ⇒ Vom Groben zum Feinen bedeutet Multiplizieren
5,5 Ÿ•Ÿ 1.000 Ÿ• Ÿ 10 Ÿ•Ÿ 10 Ÿ•Ÿ 10 = 5.500.000 ⇒ 5,5 km = 5.500.000 cm
(UZ: 1.000.000)

30 mm in dm à Vom Feinen zum Groben bedeutet Dividieren
30 ÷ 10 ÷ 10 = 0,3 ⇒ 30 mm = 0,3 dm
(UZ: 100)

 

Umrechnen von Flächeneinheiten                            

÷ 100

÷ 100

÷ 100

÷ 100

÷ 100

÷ 100

mm²

cm²

dm²

a

ha

km²

Ÿ• 100

Ÿ• 100

Ÿ• 100

Ÿ• 100

Ÿ• 100

Ÿ• 100

Tabelle 4: Umrechnungstabelle Flächeneinheiten

Beispiel 1:

 3,5 km² in ⇒ Vom Groben zum Feinen bedeutet Multiplizieren
3,5 •Ÿ 100 •Ÿ 100 • 100 = 3.500.000 ⇒ 3,5 km² = 3.500.000 m²
(UZ: 1.000.000)

Beispiel 2:

700 a in ha ⇒ Vom Feinen zum Groben bedeutet Dividieren
700 ÷ 100 = 7 ⇒ 700 a = 7 ha
(UZ: 100)

 

Umrechnen von Volumeneinheiten

÷ 1000

÷ 1000

÷ 1000

mm³

cm³ (ml)

dm³ (l)

Ÿ• 1000

Ÿ•Ÿ 1000

Ÿ•Ÿ 1000

Tabelle 5: Umrechnungstabelle Flächeneinheiten

Beispiel 1:

12in dm³ ⇒ Vom Groben zum Feinen bedeutet Multiplizieren
12 Ÿ•Ÿ 1.000 = 12.000 Ÿ⇒ 12 m³ = 12.000 dm³ oder 12 m³ = 12.000 l
(UZ: 1.000)

 

Beispiel 2:

4.000 ml in ⇒ Vom Feinen zum Groben bedeutet Dividieren
4.000 ml = 4.000 cm³
4.000 ÷ 1.000 ÷ 1.000 = 0.004 ⇒ 4.000 cm³= 0.004 m³ oder 4.000 l = 0.004 m³
(UZ: 1.000.000)

 

Umrechnen von Gewichtseinheiten

÷ 1000

÷ 1000

÷ 1000

mg

g

kg

t

Ÿ 1000

Ÿ 1000

Ÿ 1000

Tabelle 6: Umrechnungstabelle Gewichtseinheiten

 Beispiel 1:

8,35 t in g ⇒ Vom Groben zum Feinen bedeutet Multiplizieren
8,35 Ÿ•Ÿ 1.000 Ÿ•Ÿ 1.000 = 12.000.000 ⇒ 8,35 t = 12.000.000 g
(UZ: 1.000.000)

Beispiel 2:

12.000 mg in kg ⇒ Vom Feinen zum Groben bedeutet Dividieren
12.000 ÷ 1.000 ÷ 1.000 = 0.012 ⇒ 12.000 mg = 0,012 kg
(UZ: 1.000.000)

 Weitere alte (aber noch gängige) Gewichtseinheiten sind:

1 Pfund (Pfd) = 500 g oder 0,5 kg
1 Zentner (Ztr) = 100 Pfd oder 50 kg oder 0,05 t
1 Doppelzentner (dz oder DZtr) = 2 Ztr oder 100 kg oder 0,1 to
1 Quintal (q) oder 1 Dezitonne (dz) = 100 kg oder 0,1 to

 

Umrechnen von Zeiteinheiten

÷ 60

÷ 60

÷ 24

÷ 365

s

min

h

d

a (y)

ŸŸ• 60

Ÿ•Ÿ 60

Ÿ•Ÿ 24

Ÿ•Ÿ 365

Tabelle 7: Umrechnungstabelle Zeiteinheiten

 Beispiel 1:

 17 d in min ⇒ Vom Groben zum Feinen bedeutet Multiplizieren
17 ŸŸ• 24 Ÿ•Ÿ 60 = 24.480 ⇒ 17 d = 24.480 min
(UZ: 1.440)

Beispiel 2:

262.800 min in a ⇒ Vom Feinen zum Groben bedeutet Dividieren
262.800 ÷ 60 ÷ 24 ÷ 365 = 0,5 ⇒ 262.800 min = 0,5 a
(UZ: 252.600)

Kommazahlen bei Zeiteinheiten sind nicht dekadisch (also in Zehnerstellen) aufgebaut. Es gilt daher genau auf die Vorgaben in der Aufgabenstellung zu achten und gegebenenfalls die Stellen nach dem Komma in die nächst kleiner Einheit umzuformen

Beispiel 3:

0,5 Jahre wären demnach 182 d 12 h
365 Ÿ•Ÿ 0,5 = 182,5 d
0,5 d Ÿ•Ÿ 24 = 12 h

 

Umrechnen von Geschwindigkeitseinheiten

Beim Umrechnen von Geschwindigkeitseinheiten wird in der Regel nicht mit festen Umrechnungszahlen gearbeitet. Die Größen Länge (Strecke) und Zeit werden einzeln in die neue Maßeinheit umgewandelt, um dann entsprechend der Formel Geschwindigkeit = Weg / Zeit (V = s/t) ermittelt.

 Beispiel 1:

60 km/h in m/s

  1. Schritt 60 km Ÿ 1.000 à 60 km = 60.000 m
    (UZ: 1.000)
    1 h Ÿ 3.600 à 1 h = 3.600 min
    (UZ: 3.600)
  2. Schritt 60.000 ÷ 3.600 = 16.67 ⇒ 60 km/h = 16,67 m/s

 Beispiel 2:

6.000 m/h in km/h

  1. Schritt 6.000 m ÷ 1.000 à 6.000 m = 6 km
    (UZ: 1.000)

Die Zeiteinheit bleibt gleich und muss nicht umgerechnet werden.

  1. Schritt 6 ÷ 1 = 6 ⇒ 6.000 m/h = 6 km/h

 

 Umrechnen von Geldeinheiten (Euro)

÷ 100

ct

ŸŸ• 100

Tabelle 8: Umrechnungstabelle Geldeinheiten Euro

 Beispiel 1:

 376 in ct ⇒ Vom Groben zum Feinen bedeutet Multiplizieren
376 Ÿ 100 = 37.600 ⇒ 376 = 37.600 ct
(UZ: 100)

Beispiel 2:

28.533 ct in ⇒ Vom Feinen zum Groben bedeutet Dividieren
28.533 ÷ 100 = 285,33 à 28.533 ct = 285,33 € oder 285 € 33 ct
(UZ: 100)

 

Schlussbemerkung und Hinweise

Nicht nur in der Mathematik, sondern auch in Fächern wie Biologie, Physik oder Chemie, ist das Beherrschen von Maßeinheiten und deren Umrechnung notwendig. Gerade in höheren Klassenstufen wird vorausgesetzt, dass Schülerinnen und Schüler in diesen Grundlagen definitions- und anwendungssicher sind. Es ist daher zu empfehlen, sich immer wieder mit diesen Grundlagen zu beschäftigen.

Arbeitsplatt zur Umrechnung von Maßeinheiten

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